在樹上的作用

樹是沒有迴路的圖——儘管可以不斷分叉，但除了原路返回，你永遠回不到出發點。當一個群以對稱（等距）作用於一棵樹時，這種剛硬、無迴路的形狀迫使群的結構暴露無遺。元素把點移到哪裡、固定哪些點，便成了一張可據以讀出整個群的藍圖。樹是理想的舞台，因為其幾何如此受限，以至於群在其上的作用無所遁形。

具體地說，群 G 以自同構作用於單純樹 T——置換頂點與邊、保持關聯關係。可按行為對每個非平凡元素分類：橢圓元素固定某個頂點，而雙曲元素沿唯一的不變測地直線（其軸）平移一個正的量，即其平移長度。若沒有元素交換某條邊的兩端，則稱該作用無翻轉；總可以轉到重心細分以確保這一點。

作用的結構由商圖 T/G 連同頂點與邊的穩定化子刻畫，組裝成一個群圖。兩種最簡單的模式極具代表性：群作用於一棵只有單一邊軌道和兩個頂點軌道的樹，建構出合併自由積；而單一邊軌道與單一頂點軌道，則建構出 HNN 擴張。這部詞典正是 Bass–Serre 理論。