群作用
把群想成一堆對稱——立方體的旋轉、一副牌的重新洗牌——再把集合想成被這些對稱挪動的東西。群作用就是「這個群在重排那個集合」這句話的嚴格說法。每個群元素都變成對集合的一種置換，群元素相乘對應置換的複合，於是群的結構被忠實地體現在集合被打亂的方式裡。
確切地說，群 G 在集合 X 上的作用是從 G 到 X 上所有雙射構成的對稱群 Sym(X) 的一個同態。等價地，它是一個映射 G x X -> X，記作 (g, x) -> g·x，滿足對單位元 e 有 e·x = x，且對所有 g, h 屬於 G 有 g·(h·x) = (gh)·x。第二個條件正是使得對應 g -> (x -> g·x) 成為同態而非僅僅一個映射的關鍵。
作用是抽象群與具體組合學或幾何之間的橋樑。一個作用的兩個基本不變量——它的軌道（哪些點可以從哪些點到達）和它的穩定子（哪些元素固定某個點）——幾乎決定了一切，而軌道-穩定子定理把它們聯繫起來。當同態 G -> Sym(X) 單射時稱作用是忠實的，此時不同的群元素確實作用不同；許多結構定理都從構造一個忠實作用入手。
一個提醒：同一個群可以以本質上不同的方式作用在同一個集合上，這些是不同的作用，而非對同一事物的不同描述。例如 Z/4Z 既可以作為一個 4-循環作用在四個點上，也可以平凡地作用（每個元素固定每個點）；兩者都滿足公理。研究的對象是作用本身，而不只是群。
S_3 透過置換標號作用在集合 {1, 2, 3} 上：對換 (1 2) 把 1 送到 2、2 送到 1，並固定 3。該作用是忠實的，因為固定全部三個點的置換只有恆等，故此處同態 S_3 -> Sym({1,2,3}) 是同構。
S_3 在三個字母上的定義作用。
左作用與右作用在複合規則上不同：左作用滿足 g·(h·x) = (gh)·x，而右作用滿足 (x·g)·h = x·(gh)。任何右作用都可經由 g·x := x·g^{-1} 變為左作用，故選擇基本是約定，但若不聲明地混用會導致複合次序上的錯誤。