軌道-穩定子定理

任何群作用中都有一個乾淨的權衡：固定一個點的對稱越多，這個點能去的地方越少；點移動得越自由，把它固定住的元素就越少。軌道-穩定子定理把這個權衡精確化——軌道的大小與穩定子的大小相乘恰好等於群的大小。

確切地說，對群 G 在集合 X 上的作用與任一點 x，軌道 G·x 與左陪集集合 G/Stab(x) 之間存在雙射，由 g·x <-> g·Stab(x) 給出。於是 |G·x| = [G : Stab(x)]，即穩定子的指數。當 G 有限時這讀作 |G| = |G·x| · |Stab(x)|，故軌道長度與穩定子的階都整除 |G|。

這一個等式支撐著大量有限群論。它是拉格朗日定理（讓 G 作用在陪集上）、類方程（讓 G 透過共軛作用在自身上）以及 Burnside 計數引理背後的引擎。一種實用的讀法：要求一條軌道的大小，無需把它列出——只需算出有多少群元素固定某一點，再用 |G| 除以這個數。