巴斯–塞爾理論

巴斯–塞爾理論是兩個世界之間一部完美的詞典：一邊是作用於樹的群，另一邊是沿子群黏接而成的群。它指出，看似幾何的問題『我的群如何挪動一棵樹？』與看似代數的問題『我的群如何由合併積和 HNN 擴張造出？』其實是同一個問題，且雙向都有精確的翻譯。有了在樹上的作用，就有了造群的配方；有了這樣的配方，就有了作用。

組織性的概念是群圖：一個連通圖，其每個頂點與每條邊都帶有一個群，並配有邊群到兩端頂點群的單射。其基本群透過逐邊迭代的合併積與 HNN 擴張建構而成。基本定理指出：群圖的基本群恰是允許在某棵樹上（無翻轉地）作用的群，並且可由作用的商圖與頂點、邊穩定化子重構出該群圖。

此理論由讓–皮埃爾·塞爾與海曼·巴斯發展（塞爾 1977 年的著作《樹》），它使自由積、合併積、HNN 擴張及其迭代的結構在幾何上一目了然。它是群的分裂、可及性結果、單關係群與曲面群具有豐富子群結構之證明，以及作用於更一般的樹（實樹、JSJ 分解）的現代理論的基礎。