尼爾森–施賴埃爾定理

取一個自由群——一個沒有關係的群——然後看其中任意一個子群，無論選得多麼古怪。尼爾森–施賴埃爾定理保證了一件乾淨的事：這個子群仍然是自由的。自由性是可遺傳的。子群中沒有潛伏的隱藏關係；『沒有關係』這一性質從自由群完好地傳給它所有的子群。

精確地說：自由群 F 的每個子群 H 本身都是自由群。當指數 [F : H] = n 有限且 F 有有限秩 r 時，施賴埃爾指數公式加以細化：此時 H 的秩為 1 + n(r − 1)。所以除非 n = 1 或 r = 1，自由群的有限指數子群的秩嚴格大於整個群——子群在秩上可以『更大』，這一現象在阿貝爾群中不可能發生。

最乾淨的證明是拓撲的，並且是幾何群論的雛形。秩 r 的自由群是 r 個圓的楔和的基本群；子群 H 對應於該楔和的一個覆疊空間，它是一張圖；而任何圖的基本群都是自由的，其秩等於一減去歐拉示性數。尼爾森與施賴埃爾最初的組合證明（藉助尼爾森變換與施賴埃爾陪集代表系）早於這一觀點，但算出的是同樣的答案。