伴隨函子

伴隨大概是範疇論的核心概念：它精確刻畫了無處不在的「從一側的最佳逼近」這一模式。自由構造、遺忘映射、阿貝爾化、斯通–切赫緊化、張量–同態、以及極限與餘極限，都是它的實例。其口號是：左伴隨是自由添加結構的最有效方式，右伴隨是遺忘結構的最有效方式——而二者由一個箭頭間的自然雙射鎖定在一起。

函子 F : C -> D 與 G : D -> C 構成伴隨對，記作 F ⊣ G（F 為左伴隨，G 為右伴隨），若存在對 A 與 B 都自然的雙射 Hom_D(F(A), B) ≅ Hom_C(A, G(B))。等價地，這份資料可打包為一個單位自然變換 η : id_C => G ∘ F 與一個餘單位 ε : F ∘ G => id_D，滿足三角恆等式。Hom 集雙射是最易記的形式：「從自由物件出發」的映射等同於「映入被遺忘物件」的映射。

兩條結構性定理使伴隨威力強大。左伴隨保持一切餘極限，右伴隨保持一切極限——所以一個不保持比如積的函子，根本不可能是右伴隨。而伴隨函子定理給出條件（解集條件加上極限保持），使一個保持極限的函子確實擁有左伴隨。伴隨一旦存在便在自然同構意義下唯一。