餘極限

餘極限是極限的對偶：它不是最優地映入一張圖的物件，而是一張圖最優地映入的物件——是沿指定關係把一組物件黏合起來的泛方式。極限取交或投射極限，餘極限則取并、商、上核、推出或歸納極限。範疇論正是藉餘極限，把小東西拼裝成大東西。

確切地說，對圖 D : J -> C，從 D 到物件 X 的一個餘錐是一族態射 D(j) -> X，與圖的所有箭頭交換。D 的餘極限是一個泛餘錐：一個位於 D 之下的物件 colim D，使得每個別的餘錐都經由唯一態射分解通過它。這恰是在對偶範疇 C^op 中算出的極限，故關於極限的每條定理都對偶為關於餘極限的定理。

改變形狀 J 即還原一切標準黏合構造：餘積是離散圖上的餘極限，上等化子是兩條平行箭頭上的，推出是一個 span 上的，歸納（濾過）極限是一個有向系上的。具有一切小餘極限的範疇稱為餘完備的。與極限事實對偶，左伴隨函子保持一切餘極限，這解釋了為何張量積與自由構造與直和及商可交換。