遺忘函子

遺忘函子是把「忽略結構」這一日常動作形式化。群是帶有額外資料的集合——一個乘法、一個單位元、逆元——若乾脆忘掉這些額外資料，剩下的便是一個普通集合與一個普通函數。遺忘函子恰好執行這種丟棄，系統地、並且對態射也如此，把每個同態送到其底層函數。名字雖樸素，遺忘函子卻組織起大量代數。

並無把「遺忘」從其他函子中孤立出來的形式定義；此詞是描述性的。典型例子有 U : Grp -> Set、U : Ring -> Ab（忘掉乘法，保留加法群）、U : Top -> Set，以及 U : Ab -> Grp（忘掉交換性，這是一個忘掉性質而非資料的包含）。遺忘函子通常忠實——它不會弄混哪個態射是哪個——但鮮有充滿。

其重要性在於它們如此頻繁地擁有左伴隨，即對應的自由函子，它構作攜帶被遺忘結構、不施加任何關係的泛物件。自由群、自由模、自由么半群、張量代數與群環都作為遺忘函子的左伴隨出現。因為在這些情形下遺忘函子是右伴隨，它們保持一切極限——這正是為何群之積的底層集合就是各底層集合之積。