函子

若範疇是一個由物件與箭頭構成的世界，函子便是尊重全部這種結構、在世界之間的映射。它把一個範疇的每個物件送到另一個範疇的物件，把每個箭頭送到箭頭，並保持記帳規則：恆等送到恆等，複合送到複合。函子恰是「範疇之間的同態」這一正確觀念，而多數自然的數學構造——取基本群、構作自由群、與固定的模作張量積——都是函子。

確切地說，函子 F : C -> D 給 C 中每個物件 A 指派 D 中一個物件 F(A)，給每個態射 f : A -> B 指派一個態射 F(f) : F(A) -> F(B)，使得 F(id_A) = id_{F(A)} 且 F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)。這是共變函子。反變函子則把箭頭反向：F(f) : F(B) -> F(A) 且 F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g)；等價地說，它是一個共變函子 C^op -> D。對偶空間構造 V ↦ V* 是反變的典型例子。

函子也有自己一套形容詞，描述它在 Hom 集上的作用。稱 F 為忠實的，若每個誘導映射 Hom(A, B) -> Hom(F(A), F(B)) 都是單射；稱為充滿的，若它是滿射；稱為充分忠實的，若它是雙射。像 Grp -> Set 這樣的遺忘函子是忠實但不充滿。充分忠實函子是辨認範疇等價的關鍵，因為充分忠實且本質滿的函子就是一個等價。