自然變換

一旦把函子看成範疇之間的映射，緊接著自然要問：兩個函子之間的映射又是什麼？自然變換便是答案。它是把一個函子 F 一致地變為另一函子 G 的方法：在每個物件 A 處選一個態射 F(A) -> G(A)，且選得如此協調，以至與視野內的一切都交換。「自然」一詞捕捉了一種非形式的感覺：某構造是典範的——它不依賴於如基之類的任意選擇。

給定函子 F, G : C -> D，自然變換 η : F => G 是一族態射 η_A : F(A) -> G(A)，每個物件 A 各一個，稱為分量，須滿足自然性條件：對 C 中每個態射 f : A -> B，相應方塊交換，即 G(f) ∘ η_A = η_B ∘ F(f)。若每個分量 η_A 都是同構，則 η 是自然同構，此時 F 與 G 便「在典範認同意義下相同」。

自然性正是把深刻定理與巧合區分開來的東西。有限維向量空間 V 同構於其對偶 V*，但沒有任何同構是自然的——它需要選定一組基。相反，把向量送到「在它處求值」、映入雙對偶的映射 V -> (V*)* 卻是自然的，這正是雙對偶典範地就是原空間的確切含義。函子 C -> D 及其間的自然變換本身也構成一個範疇，即函子範疇 D^C。