範疇等價

兩個範疇可以並非字面相同，卻「在一切實際意義下相同」，正如有限維實向量空間的範疇與實矩陣的範疇用兩種語言描述同一情形。範疇等價是忽略無關差異的精確同一性概念——尤其它不要求物件嚴絲合縫地對應，只需在同構意義下對應。它幾乎總是判斷兩套數學理論何時可互換的正確觀念。

函子 F : C -> D 是等價，若存在函子 G : D -> C（擬逆）連同自然同構 G ∘ F ≅ id_C 與 F ∘ G ≅ id_D。從相等放寬到自然同構是本質性的：堅持 G ∘ F = id_C 給出的是稀少而僵硬得多的範疇同構概念，對真實數學而言過於苛刻。

有一條乾淨的辨認定理。函子 F 是等價，當且僅當它充分忠實且本質滿，即 D 的每個物件都同構於某個 F(A)。這一判據使人無須親手構造擬逆即可驗證等價（構造 G 通常需要選擇公理，對每個物件各選一個同構）。等價是「範疇的 2-範疇」中的態射，而範疇論真正棲身於這一層級。