米田引理

米田引理是範疇論最深刻的初等定理，其寓意令人難忘：一個物件由通向（或來自）它的全體映射所完全確定。你只須觀察每個別的物件如何藉態射探測 A，便知 A 的一切。這是「萬物因其關係而被認知」這一哲學的嚴格形式，它使函子 Hom(A, -) 成為物件 A 本身的忠實代理。

陳述如下：對任一局部小範疇 C、任一物件 A 與任一函子 F : C -> Set，自然變換 Hom(A, -) => F 與 F(A) 的元素之間存在雙射，且該雙射對 A 與 F 都自然。此雙射由「在恆等態射 id_A 處求值一個自然變換」給出；其逆則從 F(A) 中一個選定元素構作一個變換。用符號寫，Nat(Hom(A, -), F) ≅ F(A)。

一個核心推論是米田嵌入：指派 A ↦ Hom(A, -)（或其反變表親 A ↦ Hom(-, A)）是從 C 進入一個函子範疇的充分忠實函子。於是 C 作為全子範疇嵌入其預層範疇中，兩個物件同構當且僅當其可表函子同構，且一個態射由它在 Hom 集上的誘導所確定。這正是「在 Hom 集上驗證」何以是一種合法而有力的證明技巧。