可表函子

可表函子是暗地裡不過是「從（或到）某固定物件的映射」的函子。在任一局部小範疇 C 中，每個物件 A 決定一個函子 Hom(A, -)，它把物件 X 送到態射 A -> X 之集。函子 F : C -> Set 稱為可表的，若它自然同構於這樣一個函子——若存在一個物件 A（表示物件），完全地把 F 編碼為「從 A 映出」這一操作。

確切地說，共變函子 F : C -> Set 可表，若存在物件 A 與自然同構 Hom(A, -) ≅ F。由米田引理，這樣的表示本質唯一：A 在同構意義下被確定，且該同構對應於 F(A) 中一個傑出的泛元素。反變函子 C -> Set 可表，若它對某個 A 同構於 Hom(-, A)。代數與幾何中許多「模」或「解」函子，正是藉要求其可表來定義的。

可表性是泛性質的範疇論面孔。說一個構造是表示物件，等於說它滿足一條泛性質，反之亦然。例如把環 R 送到其單位群之集的函子，由環 Z[x, y]/(xy − 1) 所表示；多項式環 Z[x] 表示交換環上的底層集合函子。一旦認出一個函子可表，便立即得到一個泛物件。