態射

態射是「箭頭」的範疇論說法——是「從一物到另一物、保持結構的映射」這一觀念的抽象。在熟悉的範疇裡，態射的確是某種函數（同態、連續映射、線性映射），但範疇論的立場是把它當作原始概念：態射根本不必是底層元素上的函數。唯一固定的是，每個態射 f 都有一個源物件（定義域）和一個目標物件（陪域），記作 f : A -> B。

若干形容詞純粹依據態射如何複合來分類，而不依據任何內部資訊。態射 f : A -> B 稱為單態射，若它左可消去：f ∘ g = f ∘ h 迫使 g = h；稱為滿態射，若它右可消去：g ∘ f = h ∘ f 迫使 g = h；稱為同構，若它有雙側逆 g 滿足 g ∘ f = id_A 且 f ∘ g = id_B。從 A 到 A 的態射稱為自同態，可逆的自同態稱為自同構。

一個常見陷阱：在 Set 中，單態射意味著單射，滿態射意味著滿射，二者兼備即為同構。但最後這一蘊涵在一般範疇裡失效。在環範疇中，包含映射 Z -> Q 既是單態射又是滿態射，卻不是同構。所以在不夠良好的設置之外，「既單又滿」嚴格弱於「同構」，這三個形容詞必須在概念上分清。