作為頂層外冪的行列式

這是對行列式究竟是什麼的無座標解釋：一個線性映射把最高維有向體積拉伸的那個唯一數。n 維空間的頂層外冪 Λ^n(V) 是一維的——本質上只有一個『體積元』——故任何線性映射都只能將其縮放，而那個縮放因子就是行列式。

設 V 是 n 維向量空間、T: V -> V 線性。函子性給出頂層（一維）外冪上的誘導映射 Λ^n(T): Λ^n(V) -> Λ^n(V)，在生成元上由 Λ^n(T)(v_1 ∧ ... ∧ v_n) = T(v_1) ∧ ... ∧ T(v_n) 定義。由於 Λ^n(V) 一維，Λ^n(T) 是乘以唯一純量，該純量按定義（且與通常公式一致）就是 det(T)。

此觀點使行列式的關鍵性質立即且無基地顯現。乘性 det(ST) = det(S) det(T) 不過是 Λ^n 的函子性應用於複合；det(T) = 0 當且僅當 T(v_1), ..., T(v_n) 相關，即 T 不可逆；且該構造無需選基，解釋了為何行列式與基無關。一般的 k 次外冪 Λ^k(T) 同樣產出特徵值的初等對稱函數。