格拉姆矩陣

雙線性形式是抽象的雙輸入機器，但要用它做計算，你需要數字。格拉姆矩陣就是記帳工具：選定一組基，把形式在每一對基向量上的取值記錄下來。一旦握有這張有限的表，形式在任意兩個向量上的取值都可由代入座標得到——整個無窮的形式就被一個有限矩陣所捕獲。

給定 V 的一組基 e_1, …, e_n 與雙線性形式 B，格拉姆矩陣 G 的元素為 G_ij = B(e_i, e_j)。於是對座標行為 x、y 的向量有 B(u, v) = x^T G y。形式對稱當且僅當 G 對稱，交錯當且僅當 G 交錯，非退化當且僅當 G 可逆。對於實空間上的內積，G 是對稱正定的。

用可逆矩陣 P 換基，會把 G 替換為 P^T G P——這是合同（congruence），不是相似（出現的是 P^T 而非 P^{-1}）。因此『不同座標下的同一形式』的恰當概念是矩陣的合同，而形式的不變量恰好是其格拉姆矩陣的合同不變量：秩、模平方的判別式，以及在 R 上的符號差。