形式的秩

空間中某些方向對一個形式是『隱形』的——無論搭配誰，把它們餵進去總返回零。秩衡量的是真正『起作用』的方向有多少：把這些盲方向（即根基）商去之後，形式非平凡部分的大小。滿秩的形式洞察一切；秩不足則意味著形式在某個子空間上退化。

確切地說，雙線性或二次形式的秩就是其任一格拉姆矩陣的秩。由於換基把 G 替換為合同矩陣 P^T G P（P 可逆），秩保持不變——它是合同不變量，因而是形式本身的不變量。等價地，秩等於 V 的維數減去根基的維數，根基即與 V 中所有向量都正交的向量構成的子空間。

對角化之後，秩就是非零對角元的個數。形式非退化當且僅當秩等於 dim V，當且僅當格拉姆矩陣可逆，當且僅當根基為零。在 R 上，秩等於 p + q，其中 (p, q) 是符號差；差 p - q 以符號資訊細化了秩，而單憑秩會丟棄這一資訊。