形式的對角化

一般的二次形式帶有像 x_1 x_2 這樣的混雜交叉項，把變量糾纏在一起。形式的對角化意味著選取更好的座標，使所有交叉項消失，只剩下加權平方之和，如 a_1 y_1^2 + … + a_n y_n^2。從幾何上看，你是在旋轉並伸縮座標軸，直到它們與形式的自然方向對齊。

形式上，對稱雙線性形式 B 的對角化就是找到一組正交基 e_1, …, e_n，即對 i ≠ j 有 B(e_i, e_j) = 0；在此基下格拉姆矩陣為對角矩陣。在任何特徵不為 2 的體上，每個對稱雙線性形式都存在這樣的基——反覆配方，或在無迷向障礙時用格拉姆–施密特過程，都能構造性地得到。

對角化並不唯一：對角元可被平方數縮放並重排，故只有它們的模式才重要。在 R 上，正、負、零元的計數是不變量（由西爾維斯特定律給出的符號差）。在 C 上，每個非零元都可化為 1。在 Q 上，模平方的對角元連同哈塞不變量共同編碼了真正的算術資訊。須注意：這是合同對角化，不同於特徵值對角化，儘管對實對稱矩陣而言譜定理能通過正交換基同時實現二者。