西爾維斯特慣性定律

你可以用許多方式把一個實二次形式對角化，對角線上具體的數字會因方法而異。然而西爾維斯特慣性定律說有一件事始終不變：其中有多少個數為正、多少個為負。再巧妙的座標選擇也無法把一個正方向變成負方向。因此符號差並非記帳的產物，而是形式的真實屬性。

陳述：若一個實對稱雙線性形式（等價地一個實二次形式）在兩組不同的基下都化為對角形，則正對角元的個數 p 與負對角元的個數 q 在兩組下相同。等價地，使 Q 正定的子空間的最大維數等於 p，使 Q 負定的子空間的最大維數等於 q；這些維數與基無關，從而迫使對角計數一致。

該結果由西爾維斯特於 1852 年發表，是實分類的基石：它使 (p, q) 成為良定義的不變量，故兩個實形式合同當且僅當它們維數與符號差相同。證明通常論證：一個正定子空間與負、零對角方向的張成空間必只交於零，從而給出 p 的上界，對稱地給出 q 的上界。該定律在 C 上失效（符號可被吸收），在無序體上亦然。