正定

正定形式的行為就像一個貨真價實的長度平方概念：每個非零向量都取嚴格為正的值，唯有零向量量出零。正是這一性質使對稱形式能充當內積，給出真正的距離與角度，而不潛藏退化的或為負的『長度』。

在 R（或任意有序體）上，若對每個 v ≠ 0 都有 Q(v) > 0，則二次形式 Q 正定；此時伴隨的對稱雙線性形式是一個內積。用符號差來說即 (p, q) = (n, 0)：所有對角元為正，滿秩。對稱矩陣 A 正定，當對一切 x ≠ 0 有 x^T A x > 0，等價地其所有特徵值為正。

有若干判別法可檢測正定性：西爾維斯特判據要求 A 的每個順序主子式為正；或者所有特徵值為正；或者 A = P^T P 對某個可逆 P 成立（一種喬列斯基型分解）。較弱的概念半正定允許 Q(v) ≥ 0 且非零 v 處可取等號，對應於 p < n 的 (p, 0) 與非平凡的根基。