對稱雙線性形式

設想用某種方式度量兩個向量之間的『關係』，而這種方式並不在意你先點名哪一個。點積恰恰如此：u · v 等於 v · u。對稱雙線性形式正是把這種不偏不倚抽象出來——交換兩個輸入絕不改變結果。正是這類配對支撐起長度、角度與正交的概念。

形式上，V 上的雙線性形式 B 稱為對稱的，若對一切 u, v ∈ V 有 B(u, v) = B(v, u)。就任一格拉姆矩陣 G 而言，這等價於 G = G^T，即矩陣對稱。當特徵不為 2 時，對稱雙線性形式恰好是由二次形式經極化所得的形式，因此對稱形式理論與二次形式理論是同一主題的兩個視角。

當 B(u, v) = 0 時稱兩向量正交。正交性使人能構造正交基並把 V 分解為若干塊，從而導向對角化、秩與符號差，最終給出形式的分類。在特徵 2 中，與二次形式的聯繫會失效——對稱與交錯在對角線上重合——因此那時必須把二次形式本身當作首要資料來處理。