哈塞不變量

在實數上，同秩的兩個二次形式由其符號差區分開。但在 p-進體上沒有序，因而沒有符號差，然而形式仍有若干不等價的形態——故需要另一種指紋。哈塞不變量正是這指紋：一個取值於 {±1} 的類符號量，由希爾伯特符號構造，記錄著秩與判別式所看不見的微妙的『哪些乘積是範數』的資訊。

給定體 K 上配有希爾伯特符號 (·,·) 的非退化對角形式 ⟨a_1, …, a_n⟩，哈塞不變量是希爾伯特符號 (a_i, a_j) 對所有 i < j 之乘積（一種常見約定；有些作者取 i ≤ j 或採用不同符號）。它不依賴於對角化基，故為形式的不變量。在 p-進體 Q_p 上希爾伯特符號取值 ±1，故哈塞不變量是單個符號。

其決定性作用在於局部分類：在 Q_p 上，一個非退化二次形式由其維數、其在 K*/K*^2 中的判別式、以及其哈塞不變量在等距意義下確定——一份乾淨的有限不變量清單。把這些局部資料在所有完備化上拼接起來，哈塞–閔可夫斯基（局部–整體）定理就分類了 Q 上的形式：兩個形式在 Q 上等距當且僅當它們在 R 上以及在每個 Q_p 上都等距。哈塞不變量因而是開啟有理二次形式整體理論的局部鑰匙。