雙線性與二次形式
維特環
為了在一個體上分類二次形式，人們希望有一個單一的代數裝置，其元素是形式，其運算映照形式如何組合。維特環正是如此：把體上所有非迷向形式封裝成一個環，以正交和為加法、以張量積為乘法，並約定忽略那些不攜帶非迷向內容的『平凡』雙曲平面。
構造：在特徵不為 2 的體 K 上，考慮等距意義下的非退化二次形式。正交和給出一個交換么半群；維特消去使人能作格羅滕迪克群，再對由雙曲平面 H 生成的理想取商。所得 W(K) 是一個交換環：加法是正交和，乘法是張量積，兩個形式在 W(K) 中相等當且僅當其非迷向核等距。由維特分解，每個類都有唯一的非迷向代表元。
維特環濃縮了體的算術。W(C) ≅ Z/2Z，W(R) ≅ Z（經由符號差），而對有限體 W(F_q) 小而明確。由偶維形式構成的基本理想 I 給出一個濾過，其分次片 I^n/I^{n+1} 由模 2 的米爾諾 K-理論與伽羅瓦上同調計算——即由沃耶沃茨基證明的米爾諾猜想——使 W(K) 成為二次形式、K-理論與上同調的交匯點。
在 R 上，每個非迷向形式都是 ±（正定形式），故 W(R) ≅ Z，其中符號差為 (p, q) 的 n 維形式之類映到 p − q；符號差為 (1, 1) 的雙曲平面 H 映到 0，理應如此。
R 的維特環是 Z，記錄著符號差。
微妙之處：有些作者稱 W(K) 為二次形式的維特環，而把消去雙曲項之前的形式所成的環另稱為維特–格羅滕迪克環 GW(K)；W(K) = GW(K) 模去雙曲理想。
又稱
另見