格羅滕迪克群
整數讓你做加法，但你不能總在它們內部做減法——除非你發明負數、構造出整數環 Z。格羅滕迪克群對任何「能加卻不能減」的系統施行的正是這一招：它是從一個交換么半群出發、透過形式地添入逆元所能造出的最小的群。正如「我想做減法」這一要求迫使 Z 誕生，格羅滕迪克群正是把同樣的要求施加到諸如模的同構類、向量叢或任何能取直和的對象上時的普適答案。
確切地說，設 M 是一個加法記號下的交換么半群。格羅滕迪克群 K(M) 是配有么半群同態 M -> K(M) 的阿貝爾群，且具普適性：從 M 到任一阿貝爾群的么半群同態都唯一地經由它分解。人們把 K(M) 構造為一些數對 (a, b)，理解為「a 減 b」，並對關係取商：只要存在某個 c 使 a + b' + c = a' + b + c，就令 (a, b) ~ (a', b')（多出的 c 用以處理不可消去的么半群）。當 M 本身可消去時，更簡單的規則 a + b' = a' + b 即足夠。
該構造是從阿貝爾群範疇到交換么半群範疇的遺忘函子的左伴隨，這正是它具普適性的抽象緣由。一個值得留意的微妙之處：自然映射 M -> K(M) 不必是單射。若 M 不可消去——譬如 a + x = b + x 而 a 不等於 b——則 a 與 b 在 K(M) 中坍縮為一，故過渡到格羅滕迪克群可能丟失資訊。這恰是穩定自由模所利用的現象。
自然數在加法下構成的么半群 (N, +) 的格羅滕迪克群是 Z：自然數的任意差都成為整數。更一般地，整環的非零元在乘法下構成的么半群，其格羅滕迪克群正是該整環分式域的乘法群。
整數 Z 是 (N, +) 的格羅滕迪克群。
此名是為紀念格羅滕迪克，他在 1957 年關於黎曼–羅赫定理的工作中引入了 K(M)，其中 M 取作凝聚層在直和下構成的么半群。字母 K 取自德文 Klasse（類）。後來每一個 K 群本質上都是某個對象範疇在選定的短正合列概念下的格羅滕迪克群。