K_0
在一個域上，每個有限生成模都是向量空間，由唯一一個數——它的維數——完全描述。在一般的環上，值得清點的「良性」模是投射模（自由模的直和項），單一個維數已不足以刻畫它們。環的 K_0 正是為這些模設立的普適記帳裝置：它記錄投射模在直和下如何相加，並允許形式減法。它是代數 K 理論中最初也最易計算的一級階梯。
對於環 R，令 P(R) 為有限生成投射右 R 模的同構類構成的交換么半群，加法由直和給出。則 K_0(R) 即此么半群的格羅滕迪克群。K_0(R) 的每個元素都是投射模類的形式差 [P] - [Q]，而在 K_0(R) 中 [P] = [Q] 當且僅當 P 與 Q 穩定同構，即對某個 n 有 P ⊕ R^n 同構於 Q ⊕ R^n。環同態 R -> S 經由標量擴張誘導同態 K_0(R) -> K_0(S)，使 K_0 成為一個函子。
當 R 是域或主理想整環時，每個有限生成投射模都是自由的，故 K_0(R) 為 Z，由 R 自身的類生成。對於戴德金整環（如某個整數環），K_0(R) 為 Z ⊕ Cl(R)，其中 Cl(R) 是理想類群：秩落在 Z 中，而類群記錄了秩一投射模（分式理想）如何不能是自由的。於是 K_0 已經編碼了一個經典的算術不變量。
對 R = Z[sqrt(-5)]，即 Q(sqrt(-5)) 的整數環，其類群的階為 2，故 K_0(R) = Z ⊕ Z/2Z。非主理想 (2, 1 + sqrt(-5)) 是一個非自由的有限生成投射模，它的類正是 Z/2Z 那一份中的非零元素。
K_0 探測到 Z[sqrt(-5)] 的類數 2。
約化群（常記作 K_0 上加波浪號）是 Z -> K_0(R)（將 1 送到 [R]）的餘核；它度量那些非穩定自由的投射模。對交換環 R，秩映射 K_0(R) -> H^0(Spec R, Z) 分裂出譜上取整數值的連續函數那一份，而約化部分則是皮卡型的資訊。