穩定自由模

有些投射模並非自由，但只要給它們添上幾個自由方向就立刻變成自由——好比一塊形狀彆扭的區域，一旦與自身的一份拼合便能完美鋪滿空間。穩定自由模恰是如此：自身不自由，但在無害地添加一個自由直和項後即自由。這類模正是 K_0 讀取穩定同構而非真正同構的緣由，也是「投射未必自由」的第一個具體徵兆。

右 R 模 P 稱為穩定自由的，若存在非負整數 m 與 n 使 P ⊕ R^m 同構於 R^n。等價地，P 是有限生成投射模，且其在約化群 K_0 上加波浪號(R) 中的類 [P] 為零；亦即 [P] 落在自由模的像中。每個穩定自由模都是投射的，每個自由模都是穩定自由的，但一般而言兩個逆命題皆不成立。

真正非自由的穩定自由模的經典來源，是偶數維球面切叢的代數化：在 n 為偶數時 n 維球面的實坐標環 R = R[x_0, ..., x_n]/(x_0^2 + ... + x_n^2 - 1) 上，切向量場構成的模是穩定自由的（它是平凡 (n+1) 秩叢中補出法線的那個直和項），但由毛球定理它不是自由的。於是「穩定自由是否蘊涵自由」是個實質性的問題，受環的幾何制約，並由 K_0 探測。