克魯爾維數

一個幾何對象有多少個獨立方向——它是點、曲線、曲面，還是立體？克魯爾維數純代數地回答這一問題，不借助任何圖像，只數素理想能嵌套到多深。點的環沒有嵌套餘地；曲線的環允許把一個素理想套進另一個；曲面的環則允許套兩層。你能搭起的素理想塔越長，就度量出空間的維數。

交換環 R 的克魯爾維數是相異素理想鏈 p_0 ⊊ p_1 ⊊ ... ⊊ p_n 之長度 n 的上確界。（含 n+1 個素理想的鏈長度為 n。）體的維數是 0；整數環 Z 以及任何不是體的主理想整環維數為 1（鏈 (0) ⊊ (p)）；而體上的多項式環 k[x_1, ..., x_n] 維數為 n。

對體上有限生成的代數，借助諾特正規化，這種組合計數與每一種幾何維數概念一致，也與函數體的超越次數一致。但在完全的一般性下，克魯爾維數可能失常：存在維數無窮的諾特環（永田的例子），所以維數有限是一條真正的定理（對體上或 Z 上有限生成的代數成立），而非自動的事實。