交換代數
諾特正規化
體上任何有限生成的代數，無論其定義關係多麼糾纏，都可以呈現為坐落在乾淨的坐標軸之上的、適度的「增厚」。諾特正規化把這一點精確化：它在你的代數內部找到一個多項式環——一塊純粹的、無關係的坐標空間——使整個代數在它之上只是一個有限擴張。從幾何上看，每個仿射簇都有限且滿地投影到一個同維數的仿射空間上。
引理斷言：若 A 是體 k 上有限生成的代數，則存在 A 中在 k 上代數無關的元素 y_1, ..., y_d，使 A 是多項式子環 k[y_1, ..., y_d] 上的有限生成模。等價地，A 在這個多項式環上整。數 d 是被迫定的——它等於 A 的克魯爾維數，也等於其分式體在 k 上的超越次數。
證明在特徵零或無限體上使用一次一般線性坐標變換，把一個生成元變得在其餘生成元上整，然後歸納；在有限體上則改用非線性代換。這條引理是零點定理簡潔證明背後的引擎，是簇的維數理論背後的引擎，也是代數幾何中有限性陳述背後的引擎。
對 A = k[x, y]/(xy - 1)，取 t = x + y，則 A 在 k[t] 上整，把雙曲線 xy = 1 實現為 1 維 t-直線的一個有限覆蓋。
一條曲線呈現為在一維坐標直線上的有限擴張。
結合上行定理，正規化直接表明 dim A = d，因為 A 在維數為 d 的 k[y_1, ..., y_d] 上整。它是「維數 = 自由參數的個數」這一陳述的代數主幹。
又稱
另見