超越次數

如果說擴張的次數計數向量空間的維數，那麼超越次數計數的是某種更粗糙也更本質的東西：一個擴張暗中含有多少個獨立的自由變元。它無視所有代數的「精細結構」，只報告真正超越方向的數目。一個 37 次的代數擴張與基體的超越次數都是 0；三變量的有理函數體的超越次數是 3。

確切地說，擴張 L 在 K 上的超越次數，記作 trdeg_K(L)，是 L 在 K 上任意超越基的基數。它有定義，因為所有超越基有相同的基數，證明用一個交換論證，仿照向量空間維數良定義的證明。超越次數為 0 恰好意味著 L 在 K 上代數。

超越次數在塔中可加：對 K 包含於 M 包含於 L，有 trdeg_K(L) = trdeg_K(M) + trdeg_M(L)，這是乘法塔定理的對數版表親。它是簇的幾何維數背後的代數骨架：一個不可約簇的維數等於其函數體在基體上的超越次數。