擴張的次數

坐落在較小體 K 之上的擴張體 L 可被視為一個向量空間：你能把 L 的元素相加，並用 K 中的數對它們做數乘。擴張的次數恰好在問這個向量空間有多少個方向——它的維數。次數為 2 意味著 L 的每個元素都由 K 上兩個座標刻畫；次數為 6 則是六個。它是一個度量 L 比 K 大多少的單一數字。

形式上，次數 [L : K] 是 L 作為 K 向量空間的維數 dim_K(L)。當此維數有限時，稱該擴張為該次數的有限擴張；當它無限時，擴張是無限的。對於單代數擴張 K(a)，其次數等於 a 在 K 上極小多項式的次數，所以添加一個不可約三次式的根給出次數 3。

次數掌控著幾乎一切後續：它有限當且僅當 L 是有限維的、因而是代數的擴張；它沿塔相乘；而對伽羅瓦擴張，它等於伽羅瓦群的階。超越擴張總有無限次數，因為添加一個自由變元已經產生了無限維空間 K(t)。