單擴張

單擴張是把一個體擴大的最經濟方式：你恰好添加一個新元素，並取包含它的最小體。新體中的一切隨即由這單個生成元，藉助四則運算與基體構造出來。它是循環群的體論類比——一個元素生成整個結構——也是組裝更大擴張所用的基本積木。

確切地說，K 的擴張 L 稱為單擴張，若 L = K(a) 對某單個元素 a 成立，a 稱為本原元。它有兩種風味。若 a 在 K 上代數、極小多項式次數為 n，則 K(a) 同構於 K[x]/(極小多項式)，次數為 n，基為 {1, a, ..., a^(n-1)}。若 a 超越，則 K(a) 同構於有理函數體 K(x)，次數無限。

由於本原元定理，單擴張無處不在：每個有限可分擴張其實都是單擴張，所以在特徵 0 的體或有限體上，使用單個生成元與一個極小多項式毫不損失一般性。然而並非每個擴張都是單擴張——不可分擴張可能需要兩個或更多生成元。