本原元定理

若你向一個體添加兩個代數數，你或許以為永遠都得同時用上這兩個才能描述結果。本原元定理給出一個驚喜：在溫和的假設下，單個精心選取的元素就已能生成一切。無須隨身攜帶 K(a, b)，你能找到一個數 c 使 K(a, b) = K(c)。一個複雜的擴張坍縮為一個單擴張。

確切地說，K 的每個有限可分擴張 L 都是單擴張：存在一個本原元 c 屬於 L，使 L = K(c)。通常的構造取 c = a + lambda b，其中純量 lambda 屬於 K 選得恰當，以避開那有限多個壞值；只要 K 無限此法即奏效，而有限體因其乘法群循環而單獨處理。

可分性假設是本質的。確實存在非單擴張的有限擴張——經典反例是 F_p(s^p, t^p) 上的 F_p(s, t)，一個次數為 p^2、需要兩個生成元的不可分擴張。所以該定理實際上是關於可分擴張的陳述，它支撐了伽羅瓦理論中使用單個極小多項式的便利性。