超越擴張

把基體想像成一盒你已經完全理解的數：每個新來的成員都能被一個係數已知的多項式方程「釘住」。超越擴張則衝出了這個盒子：它至少包含一個如此狂野的元素，使得基體上沒有任何非零多項式以它為根。這個元素不是任何你能寫下的代數謎題的解——它自由漂浮，更像一個獨立變元而非固定的數。

確切地說，體 L 是體 K 的超越擴張，是指 L 中存在某元素 t 在 K 上超越，即 t 不滿足任何係數在 K 中的非零多項式 p。等價地，子環 K[t] 同構於一個一元不定元的真正多項式環，所以 t 的行為恰如一個自由變元。一個不是代數擴張的擴張——即並非每個元素都是某個 K 多項式的根——恰好就是超越擴張。

要小心：「超越擴張」意味著該擴張含有某個超越元素，而非每個元素都超越。實數作為有理數的擴張是超越擴張，因為 pi 與 e 超越，儘管其中的 sqrt(2) 是代數的。要刻畫一個擴張超越的「程度」，可用超越次數來計數這種元素的一個極大獨立族。