純超越擴張

純超越擴張是「只與形式變量打交道、別無其他」的體論版本。你向基體添加一組完全自由、互不相關的「不定元」，並取一切你能構成的有理表達式。這裡沒有隱藏的代數：沒有元素滿足由其他元素強加的任何多項式關係。它是擴大一個體的最乾淨、最一般的方式，頂上不帶任何代數部分。

確切地說，K 的擴張 L 稱為純超越的，若 L = K(S) 對某超越基 S 成立，等價地若 L 與有理函數體 K(x_1, ..., x_n) 是 K 同構的（無限情形則為可數或更多變量的 K）。這裡諸變量在 K 上代數無關，所以 K[x_1, ..., x_n] 是一個真正的多項式環，而 L 是它的分式體。

每個擴張都經過一個純超越部分分解：取一個超越基 S，則 L 在純超越的 K(S) 上代數。純超越部分承載全部「自由維數」，代數部分承載其餘。一個值得記住的警告：即便 L 在某純超越子體上代數，L 本身未必純超越——呂羅特定理僅在基體上超越次數為 1 時挽救此事。