簇的維數

點是零維,曲線是一維,曲面是二維——對於光滑例子,我們關於維數的直覺是清楚的。代數幾何必須純代數地定義維數,使其在任意域上、在奇點處,乃至對沒有實圖像的概形都有意義。

所選的定義是坐標環的克魯爾維數:k[X] 中嚴格遞增素理想鏈 p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n 的長度 n 的上確界。幾何上這數的是最長的嵌套不可約子簇鏈,因為素理想對應於不可約閉集。對不可約簇,它等於函數域(即 k[X] 的分式域)在 k 上的超越次數。

對於良好的(有限型、不可約)簇,若干其他度量彼此一致:維數等於任一不可約子簇極大鏈的長度(此環是連環的),且在光滑點處等於切空間的向量空間維數。在奇點處切空間可能嚴格更大,這給出光滑性的一個乾淨判據。維數在不可約分支上是局部的,而可約簇取其各分支之最大值。