代數幾何基礎
切空間
在光滑曲線的一點你能畫出切線,在光滑曲面的一點能畫出切平面。切空間是簇在一點處最佳的線性逼近——在那裡最貼合它的平直空間。代數幾何須不用微積分而僅憑環結構來構造它,以便在任意域上奏效。
代數定義使用該點的局部環 O_p 及其極大理想 m。餘切空間是 k-向量空間 m/m^2,而扎里斯基切空間是其對偶,即 k-線性映射 m/m^2 到 k 之空間,其中 k 是剩餘域。等價地,切向量是一個導子,或是從重點概形 Spec k[e]/(e^2) 到該點的一個 k-點。對超曲面 f = 0,它由梯度的微分(即該點的雅可比)為零所給出的線性方程切出。
切空間的維數恆滿足 dim T_p X 大於等於 dim_p X,且當且僅當在光滑(正則)點處取等;嚴格不等式標誌著諸如結點或尖點之類的奇異。這使切空間成為光滑性的一個乾淨的局部判據,也解釋了為何當 m 的極小生成元個數等於克魯爾維數時,局部環恰被稱為正則的。
A^2 中尖點三次曲線 V(y^2 - x^3) 在原點處的切空間維數為 2:在局部環中,m/m^2 由 x 與 y 張成,因為 y^2 - x^3 屬於 m^2,然而該曲線僅一維,故原點是奇點。
切空間維數 2 超過曲線維數 1——這是尖點的代數指紋。
又稱
另見