正則局部環

正則局部環是光滑點的代數——簇上沒有尖角、尖點、交叉或夾縮的地方。在光滑點處，空間在無窮小尺度上看起來就像平直的坐標空間，而這種光滑性的代數影子是一種精確的效率：極大理想所需的生成元不超過維數所允許的數目。奇異點「浪費」生成元；正則點恰好用最少的數目。

設 (R, m, k) 是諾特局部環，極大理想為 m，剩餘體為 k = R/m。由中山引理總有 dim R <= dim_k(m / m^2)，即 m 所需的生成元個數。當等號成立時 R 稱為正則的：dim R = dim_k(m / m^2)，於是 m 恰由 d = dim R 個元素生成，稱為一組正則參數系。等價地，其相伴分次環是 k 上的多項式環。

正則局部環出奇地好：由奧斯蘭德－布赫斯鮑姆－塞爾定理，它們恰是有限整體維數的諾特局部環；一條深刻的定理（奧斯蘭德－布赫斯鮑姆）說每個正則局部環都是唯一分解整環。它們整閉且為科恩－麥考萊環。最簡單的例子是體（d = 0）、DVR（d = 1）和冪級數環 k〚x_1, ..., x_d〛。節點 k[x, y]/(y^2 - x^3) 在原點處局部化是非正則局部環的原型：維數為 1 而 m 需要 2 個生成元。