離散賦值環

離散賦值環是曲線上單個光滑點處「消沒階」的代數。在這樣的點附近，每個非零函數都消沒到某個整數階——一階、二階，或若不消沒則為零階——而有一個函數，即單值化元，恰好消沒到一階。DVR 把這一切打包：它是可能最乾淨的一維局部環，其中整除性由一個整數度量，而每個理想都是極大理想的冪。

體 K 上的離散賦值是滿射 v: K^* -> Z，滿足 v(xy) = v(x) + v(y) 與 v(x + y) >= min(v(x), v(y))。其賦值環 R = { x : v(x) >= 0 } ∪ {0} 就是相伴的 DVR。等價地，DVR 是不是體的局部主理想整環；等價地，是一維的、整閉的諾特局部整環；等價地，是一維正則局部環。極大理想是 (t)（t 為單值化元），且每個非零理想都是 (t^n)。

DVR 是戴德金整環的局部建築塊：把戴德金整環在非零素理想處局部化總得到一個 DVR，理想的唯一分解在局部上正是「數 t 的冪次」。誠實的對比：一個一維諾特局部整環若不整閉（如節點 k[x, y]/(y^2 - x^3) 在原點處局部化），就不是 DVR——光滑性，即正則性，正是缺失的成分。