極大理想

在一個環的所有真理想之中，極大理想是「大到不能再大」卻仍不等於整個環的那種——你無法在它和 R 之間塞進任何更大的真理想。它正好位於真理想格的頂端。

確切地說，帶單位元的交換環 R 的一個真理想 M 是極大的，如果唯一包含 M 的理想只有 M 本身和 R。其定義性的代數收益是 R/M 是一個域：把極大理想壓縮為零得到的是最乾淨的商，其中每個非零元素都可逆。這正是「極大理想是你可以代入函數並得到一個數的那些點」這一格言的來源。

在帶 1 的環中極大理想總是存在：由佐恩引理，每個真理想都包含於某個極大理想中。它們恰好是 Spec(R) 的閉點；在代數幾何的零點定理中，代數閉域上多項式環的極大理想與仿射空間的點一一對應。