素理想的高度

如果說克魯爾維數數的是整個環裡素理想塔能有多高，那麼單個素理想的高度數的是你能在該素理想之下往下挖多深。從幾何上看，一個素理想對應一個不可約子簇，其高度就是餘維數——你為把這個子簇從周圍空間中截出而施加了多少個獨立條件。三維空間中的一個點高度為 3；其中的一張曲面高度為 1。

交換環 R 中素理想 p 的高度是從 p 下降的素理想鏈 p_0 ⊊ p_1 ⊊ ... ⊊ p_n = p 之長度的上確界。等價地，它是局部化 R_p 的克魯爾維數。極小素理想的高度為 0；在整環中零理想是唯一的極小素理想，高度為 0。

高度與維數相互配合卻未必乾淨地相加。對素理想 p，總有 height(p) + dim(R/p) <= dim(R)，對體上有限生成且為整環的代數取等號（這些環是「鏈式的」，性質良好）。在病態的環中等號可能不成立，甚至高度本身可以無窮，所以乾淨的餘維數直觀只在幾何的、有限生成的情形下才有保證。