交換代數
克魯爾主理想定理
施加一個方程應當使空間的維數至多降一——用單張曲面切割一個立體，剩下的東西至多薄一維，而非兩維。克魯爾主理想定理是這一幾何直觀的嚴格代數化身：用單個函數切割，無法刻出餘維數大於一的子簇。
定理（Hauptidealsatz）斷言：在諾特環 R 中，若 p 是包含主理想 (a) 的諸素理想中極小者，則 p 的高度至多為 1。其推廣形式：若 p 極小地包含一個由 r 個元素生成的理想，則 height(p) <= r。還有部分逆命題——在諾特環中，任何高度為 r 的素理想都極小地包含某個由 r 個元素生成的理想——故高度恰是切出一個素理想所需的最少方程個數。
這單一的界限是維數理論的基石：它迫使對非零因子 a 有 dim R/(a) >= dim R - 1，給出對諾特環 R 的等式 dim R[x] = dim R + 1，並支撐著「體上有限生成的代數是鏈式的且餘維數性質良好」這一事實。諾特假設確實必要；沒有它，高度可能意外地跳躍。
在 k[x, y, z] 中，主理想 (xy - z) 是素理想，定理保證其高度為 1：用單個方程 xy = z 切割三維空間得到一張曲面，餘維數為 1，而非一條曲線。
一個方程切出餘維數一。
推廣形式有時稱為克魯爾高度定理。它立即推出諾特環的素理想都具有限高度，即便其總克魯爾維數可能無窮。
又稱
另見