整擴張

整擴張是「代數但不許有分數」的環論版本。正如代數數滿足一個有理數係數的多項式，整元素滿足一個基環上的多項式——但附加要求首項係數為 1。這個首一要求正是防止你偷偷塞進分母的關鍵，所以整性是「代數整數」而非僅僅「代數數」這一概念的誠實類比。

設 R 是交換環 S 的子環。S 中的元素 s 稱為在 R 上整，若它滿足一個首一多項式 s^n + c_{n-1} s^{n-1} + ... + c_0 = 0，其中所有 c_i 都在 R 中。當 S 的每個元素都在 R 上整時，擴張 R ⊆ S 稱為整擴張。等價刻畫：s 在 R 上整，當且僅當 R[s] 是有限生成的 R-模，當且僅當 R[s] 含於某個本身是有限生成 R-模的 R-子代數中。

整性表現得像一種有限性條件：S 中在 R 上整的全體元素構成一個子環，即 R 在 S 中的整閉包。有限擴張（S 作為 R-模有限生成）必是整擴張，但逆命題不成立——Q 的代數閉包在 Q 上整卻是無窮維的。誠實的告誡：1/2 在 Z 上代數（滿足 2x - 1 = 0）但在 Z 上不整，因為沒有以 1/2 為根的首一整係數多項式；這正是首一條件的全部意義所在。