上行定理

想象一個環的素理想堆疊成一座座塔，每座塔是一條嵌套素理想的鏈——這是度量環維數的骨架。上行定理說：當你透過整擴張把一個環架在基環之上時，總能把樓下的塔抬到樓上：樓下任何一條素理想鏈都能被樓上一條壓在其上的鏈所匹配，逐級攀升。整擴張絕不損失垂直的空間。

設 R ⊆ S 是交換環的整擴張。上行定理斷言：給定 R 中一條素理想鏈 p_1 ⊆ p_2 ⊆ ... ⊆ p_n，以及 S 中壓在 p_1 之上的素理想 q_1（即 q_1 ∩ R = p_1），則存在 S 中的鏈 q_1 ⊆ q_2 ⊆ ... ⊆ q_n，使每個 q_i 壓在 p_i 之上。配套的位於其上定理保證起點 q_1 確實存在，而不可比性說 S 中壓在 R 同一素理想之上的兩個不同素理想互不包含。

一個核心推論：整擴張保持克魯爾維數，dim S = dim R。上行有一對表親；下行定理沿相反方向提升鏈，但需要額外假設（例如 R 整閉且 S 為整環），缺了它確實可能失敗。經典應用見於代數數論，以及證明諾特正規化給出正確的維數計數。