代數整數

在所有代數數中，有些理應被稱作「整數」，正如 5 是整數而 5/2 不是。誠實的判別準則是：要求最乾淨的多項式方程本身已有整係數且首項係數為 1，不被迫引入任何分母。這類數在有理數中的表現就像普通整數：它們對加法與乘法封閉，構成一個環。

形式地說，一個複數 a 稱為代數整數，若它是某個整係數首一多項式的根——即 x^n + c_{n-1} x^{n-1} + ... + c_0，其中每個 c_i 屬於 Z。等價地，a 為代數整數當且僅當它在有理數上的極小多項式具有整係數。一個有理數是代數整數當且僅當它是普通整數（這正是有理根定理的化身）。

全體代數整數構成一個環；與任一數域 K 相交便得到 K 的整數環，這是本學科的核心對象。代數整數恰好就是在 Z 上整的代數數，因此它們是整擴張這一概念在數論中的具體實例。