代數數

設想所有你能透過寫下一個整係數（等價地有理係數）多項式方程、並說「這個數是它的一個解」而確定下來的數。根號 2 就是其一：它滿足 x^2 - 2 = 0。黃金比例、虛數單位 i、5 的立方根——全都被這樣一張網捕獲。代數數恰好就是被某張這種網捕獲的數；逃脫了每一張這種網的數，稱為超越數。

精確地說，一個複數 a 稱為代數數，若存在一個非零的有理係數多項式 f 使得 f(a) = 0。等價地也可要求整係數，因為去分母不改變什麼。每個代數數在有理數上都有唯一一個次數最低的首一多項式與之滿足，稱為它的極小多項式；該多項式的次數稱為這個代數數的次數。

全體代數數構成一個域：代數數的和、積與逆仍是代數數，且這個域就是有理數在複數中的代數閉包。它是可數的，因此「大多數」複數是超越數——然而要證明像 pi 或 e 這樣的具體數是超越數卻很難。有理數恰好就是次數為一的代數數。