數域

從普通的有理數出發，添入一個或幾個代數數——比如根號 2，或一個單位根——然後對四則運算取封閉。你便得到一個小巧自足的數的世界，它仍坐落於複數之內，卻比有理數豐富得多。當只添入了有限多新材料時，這個世界就是一個數域。

精確地說，數域 K 是有理數 Q 的一個有限次域擴張：[K : Q] 是一個有限數 n，意指 K 是 Q 上的 n 維向量空間。每個數域都由單個代數數生成（本原元定理），故 K = Q(a)，其中代數數 a 的極小多項式次數為 n。數域是超越普通整數進行算術運算的天然舞台。

數域攜帶豐富的結構：一個整數環，扮演 Z 在 Q 中的角色；一個有限的理想類群，度量唯一分解失敗的程度；一個判別式；以及一族到複數中的嵌入。整套代數數論的機器都是為了逐素數地研究這些域而建立的。