純量擴張

純量擴張是把一個模搬到更豐富的係數世界的運算——例如允許一個實向量空間被複數相乘。你保留同樣的生成元，卻擴大了被許可用來縮放的純量供給，而張量積正是一致地執行這種擴大的精確機器。

設 f: R -> S 是環同態，使 S 成為 R-代數，並設 M 是 R-模。M 沿 f 的純量擴張是 S-模 S ⊗_R M，其中 S 作用於左因子：s'·(s ⊗ m) = (s's) ⊗ m。這是純量限制（經 f 把 S-模視為 R-模）的左伴隨，故 Hom_S(S ⊗_R M, N) ≅ Hom_R(M, N) 自然成立——這正是定義基變換的萬有性質。

若 M 在 R 上自由、帶基 {e_i}，則 S ⊗_R M 在 S 上自由、帶同一基 {1 ⊗ e_i}，故一個實 n 維空間複化為一個複 n 維空間。誠實的告誡：純量擴張是右正合但一般非正合（它可能不保單射，因 ⊗ 非左正合），它保持自由／投射／平坦性質，並與直和交換。