雙曲平面

雙曲平面是最簡單的非平凡『混合符號』幾何：一個二維空間，其上的二次形式自帶一對類光方向。它是不定形式的萬有構件——在任意體上，每個非退化的迷向形式都含有一個，剝除它們之後留下一個非迷向核。（這是形式理論中的對象；它與同名的非歐幾何中的雙曲平面毫無關係。）

具體地說，體 K 上的雙曲平面 H 是二維二次空間，具有滿足 Q(e) = Q(f) = 0 與 B(e, f) = 1 的一組基 e, f；在基 (e, f) 下形式為 Q(x e + y f) = 2xy，格拉姆矩陣為 [0, 1; 1, 0]。等價地，經變換 u = x + y, v = x − y 後它是 x'^2 − y'^2（至多差一縮放），即 R 上符號差為 (1, 1) 的標準分裂形式。它非退化、迷向，維特指數為 1。

雙曲平面是維特環的『零』：H 代表平凡類，而一個形式是雙曲的（若干 H 的正交和）當且僅當它在 W(K) 中為零。由維特分解，任意非退化形式都唯一地是若干個 r 雙曲平面（r 即維特指數）與一個非迷向部分的正交和。於是雙曲平面恰好攜帶了形式的全部迷向內容、且僅此而已。