歐幾里得整環

歐幾里得整環是這樣一種整環：在其中你仍然可以做帶餘除法，且餘數確實比除數「更小」——這正是讓求最大公因子的歐幾里得演算法得以運行的引擎。只要能做帶餘除法，就能計算最大公因子，許多漂亮的結構也隨之免費得到。

嚴格地說，整環 R 是歐幾里得的，如果存在一個函數（歐幾里得範數）N，把 R 的非零元素映到非負整數，使得對任意 a 和任意非零 b（屬於 R），存在 q 與 r 滿足 a = b·q + r，其中要麼 r = 0，要麼 N(r) < N(b)。範數度量「大小」，而該不等式保證餘數會縮小，故反覆相除會終止。對 q、r 並不要求唯一性。

歐幾里得整環位於一條嚴格的等級鏈中：每個歐幾里得整環都是主理想整環（理想中範數最小的非零元素生成該理想），每個主理想整環又都是唯一分解整環——但兩個箭頭都不能反過來。環 Z[(1+√−19)/2] 是一個著名例子，它是主理想整環卻不是歐幾里得整環，說明歐幾里得條件嚴格強於主理想整環。