有限生成模

有限生成模是這樣一種模：只用加法與環的純量乘法，你就能從一個有限的元素列表完全到達它——一個具有有限張成集的模。這是模最自然的有限性條件：小到足以由有限數據掌控，但與自由模不同，生成元不必獨立，通常也沒有基。

確切地說，R-模 M 有限生成，如果存在 m_1, ..., m_n 屬於 M 使 M 的每個元素都能寫成 r_1 m_1 + ... + r_n m_n，其中 r_i 屬於 R。等價地，M 是有限秩自由模的商：存在滿射 R^n -> M。生成元之間的關係（此滿射的核）承載著其餘資訊，構成所謂的表現。

一般而言，有限生成比自由、甚至比作為模是諾特要弱得多——但在諾特環上二者重合：模有限生成當且僅當它諾特，此時每個子模也有限生成。主理想整環上模的整個結構定理就是關於有限生成模的論斷，而中山引理是局部地推理它們時不可或缺的工具。